【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為邊長為2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,點F為棱PD的中點.

(1)在棱AB上是否存在一點E,使得AF∥面PCE,并說明理由;

(2)當(dāng)二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線PB與平面ABCD所成的角.

【答案】(1)見解析;(2)45°

【解析】

(1)點E為棱AB的中點取PC的中點Q,連結(jié)EQ、FQ,推導(dǎo)出四邊形AEQF為平行四邊形,從而AF∥EQ,由此能證明AF∥平面PEC.(2)推導(dǎo)出ED⊥CD,PD⊥AD,且從而PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線PB與平面ABCD所成的角.

(1)在棱AB上存在點E,使得AF∥面PCE,點E為棱AB的中點.

理由如下:取PC的中點Q,連結(jié)EQ、FQ,由題意,F(xiàn)Q∥DC且,AE∥CD且

故AE∥FQ且AE=FQ.所以,四邊形AEQF為平行四邊形.所以,AF∥EQ,又EQ平面PEC,AF平面PEC,

所以,AF∥平面PEC.

(2)由題意知△ABD為正三角形,所以ED⊥AB,亦即ED⊥CD,又∠ADP=90°,

所以PD⊥AD,且面ADP⊥面ABCD,面ADP∩面ABCD=AD,

所以PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點建立如圖空間坐標(biāo)系,

設(shè)FD=a,則由題意知D(0,0,0),F(xiàn)(0,0,a),C(0,2,0),

,,設(shè)平面FBC的法向量為,

則由,令x=1,則,,

所以取,顯然可取平面DFC的法向量,

由題意:,所以a=1.

由于PD⊥面ABCD,所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD,

所以∠PBD為直線PB與平面ABCD所成的角,

易知在Rt△PBD中,從而∠PBD=45°,

所以直線PB與平面ABCD所成的角為45°.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)是兩條不同的直線,,是三個不同的平面.有下列四個命題:

①若,,則

②若,,則;

③若,,,則;

④若,,,則

其中正確命題的序號是(

A.①③B.①④C.②③④D.②③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點為,其上一點在準(zhǔn)線上的射影為,△恰為一個邊長為4的等邊三角形.

1)求拋物線的方程;

2)若過定點的直線交拋物線,兩點,為坐標(biāo)原點)的面積為,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)曲線在點處的切線與直線垂直時,求的值;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線,直線 .以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求直線,的直角坐標(biāo)方程以及曲線的參數(shù)方程;

(2)已知直線與曲線交于兩點,直線與曲線交于兩點,求的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中, 邊上的中線長為3,且, .

(1)求的值;

(2)求外接圓的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是__________________.

①命題x23x20,則x1”的逆否命題為:若x≠1,則x23x2≠0

x1x23x20的充分不必要條件

③若pq為假命題,則p,q均為假命題

④對于命題pxR,使得x2x1<0,則非pxR, 均有x2x1≥0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知三棱錐A-BPC中,MAB的中點,DPB的中點,且為正三角形.

1)求證:平面APC;

2)若,,求三棱錐D-BCM的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定點,動點P是圓M上的任意一點,線段NP的垂直平分線和半徑MP相交于點Q

的值,并求動點Q的軌跡C的方程;

若圓的切線l與曲線C相交于A,B兩點,求面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案