Question

8．已知單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow m=2\overrightarrow a-\sqrt{t-1}\overrightarrow b，\overrightarrow n=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，（t為正實(shí)數(shù)），則$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值為（　　）

• A． $\frac{15}{8}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． 0

Answer 1

分析 由題意寫(xiě)出$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，化為關(guān)于t的函數(shù)，再由換元法求得函數(shù)值域得答案．

解答 解：由題意，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$．
又$\overrightarrow m=2\overrightarrow a-\sqrt{t-1}\overrightarrow b，\overrightarrow n=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$（2\overrightarrow{a}-\sqrt{t-1}\overrightarrow）•（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$
=$2t{\overrightarrow{a}}^{2}-\sqrt{t-1}{\overrightarrow}^{2}+（2-t\sqrt{t-1}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$2t-\sqrt{t-1}$（t≥1）．
令$\sqrt{t-1}=s$（s≥0），則t=s²+1．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$2{s}^{2}-s+2=2（s-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$$≥\frac{15}{8}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．