Question

（2011•鐘祥市模擬）已知，A是拋物線y²=2x上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于EF兩點(diǎn)，交拋物線于M．N兩點(diǎn)，交y軸于B．C兩點(diǎn)
（1）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4）時(shí)，求直線EF的方程；
（2）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，求直線MN的方程；
（3）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由DEFA四點(diǎn)共圓，知EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，由此能求出EF的方程．
（2）設(shè)AM的方程為y-2=k（x-2），由kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1，由此能求出MN的方程．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設(shè)b＞c，直線PB的方程為y-b=

y0-b

x0

x，由圓心（1，0）到PB的距離為1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由此能求出S_△PBC的最小值．

解答：解：（1）∵DEFA四點(diǎn)共圓
EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦
∴EF的方程為7x+4y-8=0…（4分）
（2）設(shè)AM的方程為y-2=k（x-2）
即kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得

|2-k|

1+k2

=1
∴k=

3

4

，
把y-2=

3

4

（x-2）代入y²=2x得M（

2

9

，

2

3

），而N（2，-2）
∴MN的方程為3x+2y-2=0…（8分）
（3）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c，
直線PB的方程為y-b=

y0-b

x0

x，
即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，故
（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²+b²
又x₀＞2，上式化簡(jiǎn)得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
所以b+c=-

2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

，則（b-c）²=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

(x0-2)2

，
因?yàn)镻（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，所以有y₀²=2x₀，則
（b-c）²=

4 x 2 0

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀=

x 2 0

x0-2

=x₀-2+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8
當(dāng)（x₀-2）²=4時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x₀=4，y=±2

2

，
因此S_△PBC的最小值為8…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．