【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,左、右焦點分別為圓F1、F2 , M是C上一點,|MF1|=2,且| || |=2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時,線段AB上取點Q,且Q滿足| || |=| || |,證明點Q總在某定直線上,并求出該定直線的方程.
【答案】
(1)解:∵橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,∴a=2c,
橢圓左、右焦點分別為圓F1、F2,M是C上一點,|MF1|=2,且| || |=2 .
得cos< >= ,∴∠F1MF2=60°.
在△F1F2M中,由余弦定理得:
(2c)2=22+(4c﹣2)2﹣2×2(4c﹣2)cos60°,
解得c=1.
則a=2,b= .
∴橢圓C的方程為
(2)證明:由題意可得直線l的斜率存在.
設(shè)直線l的方程為y﹣1=k(x﹣4),即y=kx+(1﹣4k),
代入橢圓方程,整理得(3+4k2)x2+(8k﹣32k2)x+64k2﹣32k﹣8=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則 , .
設(shè)Q(x0,y0),由| || |=| || |,得:
(4﹣x1)(x0﹣x2)=(x1﹣x0)(4﹣x2)(考慮線段在x軸上的射影即可),
∴8x0=(4+x0)(x1+x2)﹣2x1x2,
于是 ,
整理得3x0﹣2=(4﹣x0)k,①
又k= ,代入①式得3x0+y0﹣3=0,
∴點Q總在直線3x+y﹣3=0上
【解析】(1)由已知得a=2c,且∠F1MF2=60°,由余弦定理求出c=1,即可求得a,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓C的方程可求;(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+(1﹣4k),代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+(8k﹣32k2)x+64k2﹣32k﹣8=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知向量等式即可證明點Q總在某定直線上,并求出該定直線方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2alnx+x2﹣(a+4)x+1(a為常數(shù))
(1)若a>0,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的 a∈(1, ),都存在 x0∈(3,4]使得不等式f(x0)+ln a+1>m(a﹣a2)+2a ln 成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , Sn=2an﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當a=1時,判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值;
(2)求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點P在雙曲線 (a>0,b>0)的右支上,其左、右焦點分別為F1、F2 , 直線PF1與以坐標原點O為圓心、a為半徑的圓相切于點A,線段PF1的垂直平分線恰好過點F2 , 則該雙曲線的漸近線的斜率為( )
A.±
B.±
C.±
D.±
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【題目】設(shè)正數(shù)x,y滿足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= 與g(x)=a2lnx+b有公共點,且在公共點處的切線方程相同,則實數(shù)b的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若ab > cd,則 +>+ ;(2) + > + 是|a-b| < |c-d|的充要條件
(1)(I)若abcd,則++
(2)(II)++是|a-b||c-d|的充要條件
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