Question

（2009•上海模擬）對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．
①對(duì)任意的x∈[0，1]，總f（x）≥0；
②當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂成立．
已知函數(shù)g（x）=x²與h（x）=a&•2^x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程g（2^x-1）+h（x）=m（m∈R）解的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

分析：（1）對(duì)照定義，分別驗(yàn)證即可；
（2）由于函數(shù)h（x）是G函數(shù)，對(duì)照定義分類討論：若a＜1時(shí)，h（0）=a-1＜0不滿足①，所以不是G函數(shù)；
若a≥1時(shí)，h（x）在x∈[0，1]上是增函數(shù)，則h（x）≥0，滿足①，由定義h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），則可化簡為a≤

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

，從而有a≤1，故可確定a的值；
（3）根據(jù)（2）知：a=1，方程為4^x-2^x=m，利用換元法，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可進(jìn)行討論．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，總有g(shù)（x）=x²≥0，滿足①，…（1分）
當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，g（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂），滿足②…（4分）
故函數(shù)g（x）是G函數(shù)；
（2）若a＜1時(shí)，h（0）=a-1＜0不滿足①，所以不是G函數(shù)；…（5分）
若a≥1時(shí)，h（x）在x∈[0，1]上是增函數(shù)，則h（x）≥0，滿足①…（6分）
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得a•2x1+x2-1≥a•2x1-1+a•2x2-1，
即a[1-(2x1-1)(2x2-1)]≤1，…（7分）
因?yàn)閤₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 0≤2x1-1≤10≤2x2-1≤1x₁與x₂不同時(shí)等于1∴0≤(2x1-1)(2x1-1)＜1∴0＜1-(2x1-1)(2x1-1)≤1∴a≤

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

…（9分）
當(dāng)x₁=x₂=0時(shí)，(

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

)min=1∴a≤1，…（11分）
綜合上述：a∈{1}…（12分）
（3）根據(jù)（2）知：a=1，方程為4^x-2^x=m，
由

0≤2x-1≤1 0≤x≤1

得　x∈[0，1]…（14分）
令2^x=t∈[1，2]，則m=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

…（16分）
由圖形可知：當(dāng)m∈[0，2]時(shí)，有一解；
當(dāng)m∈（-∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，方程無解．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，主要考查新定義，關(guān)鍵是正確理解新定義，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，由一定的難度．