如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=
3
，點(diǎn)M為棱SA的中點(diǎn)．
（1）求證：DM⊥平面SAB；
（2）求異面直線DM與SC所成角的大�。�
精英家教網(wǎng)
（1）連接BD，則BD=
2
，
∵SB=
3
，在直角三角形SBD中，SD=DA=1，
∴△SDA為等腰直角三角形，又M為棱SA的中點(diǎn)，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM?平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

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∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M(jìn)為棱SA的中點(diǎn)，
∴M（
1
2
，0，
1
2
），
∴
DM
=（
1
2
，0，
1
2
），
SC
=（0，1，-1），設(shè)異面直線
DM
與
SC
所成角的大小為θ，
cosθ=
DM
•
SC
|
DM
||
SC
|
=
-
1
2
1
2
•
2
=-
1
2
，
∴|cosθ|=
1
2
，
∴異面直線DM與SC所成角為
π
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長(zhǎng)為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長(zhǎng)等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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