Question

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬20m，要求通過(guò)車(chē)輛限高5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道兩側(cè)是與底面垂直的墻，高度為3m，隧道上部拱線(xiàn)近似地看成半個(gè)橢圓．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？（橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積公式為S=πab，隧道土方工程量=橫截面積×隧道長(zhǎng)）

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，找到對(duì)應(yīng)橢圓方程再把b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少；
（2）轉(zhuǎn)化為求半橢圓的面積最小值問(wèn)題，對(duì)橢圓方程用基本不等式即可求出對(duì)應(yīng)的半橢圓面積以及滿(mǎn)足要求的拱高h(yuǎn)和拱寬l．

解答： 解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)P（10，2），橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，
得a=6

5

，此時(shí)l=2a=12

5

，
因此隧道的拱寬約為12

5

m．（5分）
（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，
由柱體的體積公式可知：只需半橢
圓的面積最小即可．
由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

102

a2

+

22

b2

=1．
因?yàn)?span id="n9hdika" class="MathJye">

102

a2

+

22

b2

≥

2×10×2

ab

，即ab≥40，（8分）
所以半橢圓面積S=

πab

2

≥20π．（10分）
當(dāng)S取最小值時(shí)，a=10

2

，b=2

2

．
此時(shí)l=2a=20

2

，h=b+3=2

2

+3，（12分）
故當(dāng)拱高為（2

2

+3）m、拱寬為20

2

m時(shí)，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)橢圓方程在實(shí)際生活中應(yīng)用的考查，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．