Question

3．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$與g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3-2ln2]
• B． [3-2ln2，+∞）
• C． [$\sqrt{e}$，+∞）
• D． （-∞，$-\sqrt{e}$]

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，求出函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的最小值，利用已知條件轉(zhuǎn)化列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$的圖象如圖：
g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）$≥\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-a時取等號，
函數(shù)y=ln（-x）與y=$\frac{1}{2}$（|x+$\sqrt{e}$|+1）在x＜0有解，而且g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）看作g（x）=$\frac{1}{2}$（|x|+1）向左平移而得，y′=[ln（-x）]′=$\frac{1}{x}$，可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為：$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$，即x=-2，
此時a取得最小值：ln2=$\frac{1}{2}$（|-2+a|+1），解得a=3-2ln2．
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$與g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[3-2ln2，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象的畫法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．