Question

【題目】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè).

（1）求拋物線的方程橢圓的方程；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】分析：（1）根據(jù)已知分別列方程組求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)即可. (2)先利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出

，再求函數(shù)的值域，即得的取值范圍.

詳解： (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意得，解得

∴橢圓的方程為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，∴拋物線的方程是

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消去整理得（*）

∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

∴，

設(shè)，則①，②，

∵，

∴

∴，③

由①②③消去得.

∴

，即 ，將代入上式得，

，

∵在上單調(diào)遞減，

∴，即，

∴ ，

∴，即的取值范圍為.