Question

數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q，a₂=6，6a₁+a₃=30．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁＞q，求數(shù){na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a₂=6，6a₁+a₃=30，
∴6×+a₂q=30，即+6q=30，
解得q=2或q=3．
當(dāng)q=2時(shí)，a₁=3，a_n=3×2^n-1，
當(dāng)q=3時(shí)，a₁=2，a_n=2×3^n-1；
∴a_n=3×2^n-1或a_n=2×3^n-1；
（2）∵a₁＞q，
∴a₁=3，q=2，a_n=3×2^n-1，
∴數(shù){na_n}的前n項(xiàng)和S_n=3•2⁰+6•2¹+9•2²+…+3n•2^n-1，①
2S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ，②
①-②得：-S_n=3•（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）-3n•2ⁿ，
∴S_n=-3×+3n•2ⁿ
=（3n-3）•2ⁿ+3．
分析：（1）根據(jù)題意可得到關(guān)于公比為q的二元一次方程，從而解得q與a₁，繼而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a₁＞q，結(jié)合（1）可知，a_n=3×2^n-1，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，通過方程求得數(shù)列{a_n}的公比，從而求得通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．