設(shè)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)，且．
（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，對(duì)任意，恒有成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，試證明：；并進(jìn)一步判斷：當(dāng)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且是互不相等的實(shí)數(shù)時(shí)，不等式是否仍然成立．

（1）參考解析;（2）;（3）成立,參考解析

解析試題分析：（1）由(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)，且,即可求出.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值即可求出單調(diào)區(qū)間.
（2）對(duì)任意，恒有成立,通過(guò)去分母,整理成兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題即，則在上單調(diào)遞增,又,再通過(guò)求導(dǎo)即可得到m的取值范圍.
（3）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，則.通過(guò)代入函數(shù)關(guān)系式消元再用基本不等式即可得到結(jié)論.當(dāng)，且是互不相等的實(shí)數(shù)時(shí)，不等式是否仍然成立.有數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n=k+1時(shí)利用轉(zhuǎn)化為k項(xiàng)的形式.再通過(guò)構(gòu)造即可得到結(jié)論.
（1）∵，，故．           1分
令得；令得.      3分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．      4分
（2）由變形得：．     5分
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞增.           6分
即在上恒成立.           7分
而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
所以．                             9分
（3）證明：不妨設(shè)，由得：






其中，故上式的符號(hào)由因式“”的符號(hào)確定．
令，則函數(shù)．
，其中，得，故．即在上單調(diào)遞減，且．所以．
從而有成立．
該不等式能更進(jìn)一步推廣：
已知，是互不相等的實(shí)數(shù)，若正實(shí)數(shù)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

經(jīng)英國(guó)相關(guān)機(jī)構(gòu)判斷，MH370在南印度洋海域消失.中國(guó)兩艦艇隨即在邊長(zhǎng)為100海里的某正方形ABCD（如圖）海域內(nèi)展開(kāi)搜索.兩艘搜救船在A處同時(shí)出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且（其中點(diǎn)P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域?yàn)槠矫嫠倪呅蜛PCQ圍成的海平面.設(shè)，搜索區(qū)域的面積為.
（1）試建立與的關(guān)系式，并指出的取值范圍；
（2）求的最大值，并求此時(shí)的值.

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已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/4/11v3z2.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意的，總有；
②；
③當(dāng)，且時(shí)，成立．
稱(chēng)這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．
請(qǐng)解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？請(qǐng)給出理由；
(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得，且，求證：.

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已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式．

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某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點(diǎn)P.當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．

(1)設(shè)AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出x的取值范圍；
(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

對(duì)于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱(chēng)x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對(duì)稱(chēng)，求b的最小值．

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(2014·孝感模擬)已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)對(duì)于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天?
（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再?lài)姙?i>a（）個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）．

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已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿(mǎn)足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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