Question

已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中：
 
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請問是否存在直線同時滿足條件：(ⅰ)過的焦點(diǎn)；(ⅱ)與交于不同兩點(diǎn)、，且滿足.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）方程為         
（Ⅱ）存在直線滿足條件，且的方程為：或

(1)設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗證個點(diǎn)知.在拋物線上，易求,再設(shè)：，把點(diǎn)（2，0）（，）代入得可建立關(guān)于a,b的兩個方程，求出a,b值，從而得到橢圓方程.
（II）由題意可知此直線斜率一定存在，從而可設(shè)直線l的方程為,再與橢圓C₁的方程聯(lián)立消y后得關(guān)于x的一元二次方程，，即，得，然后根據(jù)韋達(dá)定理可得到關(guān)于k的方程，求出k值，從而得到直線l的方程.