(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰與直線l也相切,切點(diǎn)為T,求橢圓的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且p2=m,m∈,求(1)中切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值.
(文)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)E作y軸的垂線l0.
(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰好過點(diǎn)F,求橢圓的方程;
(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且=m,m∈,求直線PQ的斜率的取值范圍.
(理)解:拋物線x2=-4y中,
∵導(dǎo)數(shù)y′=-x,
∴直線l的斜率為y′|x=-4=2.
故直線l的方程為y=2x+4.
∴點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為F(-2,0)、E(0,4).
(1)∵直線l0的方程是y=4,
∴以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為=1(a>b>0).則=4.
由(4b2+a2)x2+16b2x+16b2-a2b2=0.
∵直線l與橢圓相切,
∴Δ=162b4-4(4b2+a2)(16b2-a2b2)=0.
而=4,a2=b2+c2,
解得a2=4,b2=3.
∴所求橢圓方程為=1.
此時(shí),x=
==-,
即切點(diǎn)T的坐標(biāo)為T(-,1).
(2)設(shè)l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M(x1,y1)、N(x2,y2),顯然x1≠x2.
∵點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),
∴x1+x2=-8,y1+y2=-8.
由.
而kl==2λ=3.
∴雙曲線的方程為6x2-3y2=8,
即=1.
∵在x軸正方向上的投影為p,
∴p2=cos2∠EFO=.
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點(diǎn)P(x3,y3),Q(x4,y4).
∴=x3x4+y3y4==5m.
而m∈[,],
∴≤=x3x4+y3y4≤.
由(6-3k2)x2-24kx-56=0.
∵P、Q兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上,
∴6-3k2≠0.
∴
∴-<k<.
此時(shí)y3y4=(kx3+4)(kx4+4)=k2x3x4+4k(x3+x4)+16.
∴x3x4+y3y4=(1+k2)x3x4+4k(x3+x4)+16
=(1+k2)++16
=
=.
∴≤≤.
∴40-20k2≤40-8k2
40-8k2≤80-40k20≤k2≤.
又-<k<,
∴k2∈[0,],即k∈[-,].
而切點(diǎn)T到直線PQ的距離為
d=.
設(shè)t=,k∈[-,],
則t′=.
令t′>0k<-或k>2.
∴t=在[-,-]上單調(diào)遞增,在[-,-]上單調(diào)遞減.
又k=-時(shí),d=2+;k=時(shí),d=2-.
∴dmin=2-,即切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值為2-.
(文)解:拋物線x2=-4y中,
∵導(dǎo)數(shù)y′=-x,
∴直線l的斜率為y′|x=-4=2.
故直線l的方程為y=2x+4.
∴點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為F(-2,0)、F(0,4),
(此處也可用Δ=0求切線斜率,再寫出方程)
(1)∵直線l0的方程是y=4,
∴以l0為一條準(zhǔn)線,經(jīng)過點(diǎn)F,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為=1(a>2).
則c=,其準(zhǔn)線方程為y==.
由=4,得=4,化簡(jiǎn)得a4=16(a2-4),解得a2=8.
∴橢圓方程為=1.
(2)設(shè)l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M(x1,y1)、N(x2,y2),顯然x1≠x2.
∵點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),
∴x1+x2=-8,y1+y2=-8.
由.
∵kl==2λ=3.
∴雙曲線的方程為6x2-3y2=8,
即=1.
∵在x軸正方向上的投影為p,
∴p2=cos2∠EFO=.
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點(diǎn)P(x3,y3),Q(x4,y4).
∴=x3x4+y3y4==5m.
而m∈[,],
∴≤=x3x4+y3y4≤.
由(6-3k2)x2-24kx-56=0.
∵P、Q兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上,
∴6-3k2≠0.
∴
∴-<k<.
此時(shí)y3y4=(kx3+4)(kx4+4)=k2x3x4+4k(x3+x4)+16.
∴x3x4+y3y4=(1+k2)x3x4+4k(x3+x4)+16
=(1+k2)++16
==.
∴≤≤.
∴
0≤k2≤.
又-<k<,∴k2∈[0, ].
∴k∈[,].
故所求直線PQ的斜率的取值范圍是[,].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年安徽卷理)如圖,拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,Q2,…,Qn-1,從而得到n-1個(gè)直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n→∞時(shí),這些三角形的面積之和的極限為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(05年江西卷理)(14分)
如圖,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng),過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
(1)求△APB的重心G的軌跡方程.
(2)證明∠PFA=∠PFB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年黃岡中學(xué)三模理)如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,焦點(diǎn)為;以為焦點(diǎn),離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),與拋物線交于,如果
以線段為直徑作圓,試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得△的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù),若存在,求出這樣的實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(04年北京卷理)(14分)
如圖,過拋物線y2=2px (p>0) 上一定點(diǎn)P(x0, y0) (y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2).
(I)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;
(II)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),
求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年五市聯(lián)考理) 如圖:過拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線與點(diǎn),若,且,則拋物線的方程是
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