已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)存在極值即得f'(x)=0有解,注意進行驗證.
(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,根據(jù)切線方程有兩條,即可證明.求出切點,利用點到直線的距離公式求三角形的面積即可.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-a,若函數(shù)存在極值點,
則f'(x)=3x2-a=0有解,即a=3x2,
∴a≥0,
當(dāng)a=0時,f'(x)=3x2-a=3x2≥0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值,
∴a>0.
(2)(ⅰ)過點P(1,0)作曲線的切線,設(shè)切點(x0,f(x0)),
則切線方程為:y-f(x0)=(3
x
2
0
-a)(x-x0)
,
將P(1,0))代入得:-f(x0)=(3
x
2
0
-a)(1-x0)
,
2
x
3
0
-3
x
2
0
+a-b=0
,(*),
由條件知切線恰有兩條,
∴方程(*)恰有兩根.
令u(x)=2x3-3x2+a-b,
則u′(x)=6x2-6x=6x(x-1),
則函數(shù)u(x)有兩個極值點x=0與x=1,
于是u(0)=0或u(1)=0
當(dāng)u(0)=0時,a=b成立.
當(dāng)u(1)=0時,a-b=1,此時f(x)=x3-ax+a-1=(x-1)(x2+x+1-a)經(jīng)過P(1,0)與條件P在曲線外不符合,
∴a=b.
(ⅱ)當(dāng)a=b時,2
x
3
0
-3
x
2
0
+a-b=0
,(*),
等價為
x
2
0
(2x0-3)=0
,解得x0=0或x0=
3
2
,
此時f(0)=b=a,即A(0,a),
f(
3
2
)=
27
8
-
a
2
,即B(
3
2
,
27
8
-
a
2
).
則AP的方程為
x
1
+
y
a
=1
,即ax+y-a=0,
則|AP|=
a2+1
,
點B到直線ax+y-a=0的距離d=
|
3
2
a+
27
8
-
a
2
-a|
a2+1
=
27
8
a2+1

∴△PAB的面積的面積為S=
1
2
|AP|•d
=
1
2
×
a2+1
27
8
a2+1
=
1
2
×
27
8
=
27
16
為定值.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的基本運算,綜合性強,運算量較大,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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