Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為2，且兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線交于A，B兩點，O為坐標原點，若${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，則拋物線的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，運用代入法，求得AB，再由三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，化簡整理，解方程可得p，進而得到雙曲線方程．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的準線為x=-$\frac{p}{2}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
把x=-$\frac{p}{2}$代入y=±$\frac{a}$x，
解得y=±$\frac{pb}{2a}$．
∴|AB|=$\frac{pb}{a}$，
∵△AOB的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{2}$•$\frac{pb}{a}$=$\sqrt{3}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
解得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
解得p=2．
∴該拋物線的標準方程是y²=4x．
故答案為：y²=4x．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的標準方程及其性質(zhì)，考查方程思想，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．