已知函數(shù)f(x)=2x-
1
2x

(1)若f(x)=2+
2
2x
,求x的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)若2tf(2t)+mf(t)≥0對(duì)于任意實(shí)數(shù)t∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由題意可得 2x-
1
2x
=2+
2
2x
,即 22x -2•2x-3=0,解得 2x 的值,可得x的值.
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,任意取x2>x1,化簡(jiǎn)f(x2)-f(x1)的解析式,可得它的符號(hào)為正號(hào),
即 f(x2)>f(x1),可得函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
(3)當(dāng)t∈[1,2],由題意可得m≥-(4t+1).求得-(4t+1)的最大值為-5,從而求得m的范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=2x-
1
2x
=2+
2
2x
,∴22x -2•2x-3=0,解得 2x=3,或 2x=-1 (舍去),
故 x=log23.
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,任意取x2>x1,則 f(x2)-f(x1)=2x2-
1
2x2
-(2x1-
1
2x1
)=(2x2-2x1)(1+
1
2x2•2x1
).
由題設(shè)可得,(2x2-2x1)>0,(1+
1
2x2•2x1
)>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),
故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
(3)當(dāng)t∈[1,2],2tf(2t)+mf(t)≥0恒成立,即2t(22t-
1
22t
)+m(2t-
1
2t
)≥0.
由于2t-
1
2t
>0,∴2t(2t+
1
2t
)+m≥0,故 m≥-(4t+1).
由于-(4t+1)的最大值為-5,故有m≥-5,即m的范圍是[-5,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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