Question

已知拋物線y²=4x的準線與x軸交于M點，過M作直線與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線與X軸交于D（X₀，0）
（1）求X₀的取值范圍．
（2）△ABD能否是正三角形？若能求出X₀的值，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設過點M的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0可求得k²的范圍，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和y₁+y₂，進而得到AB中點坐標，AB垂直平分線的方程，令y=0，得x0=

k2+2

k2

=1+

2

k2

，這樣就可以求出X₀的取值范圍．
（2）若△ABD是正三角形，則需點D到AB的距離等于

3

2

|AB|，由此建立方程，可求k2=

3

4

，滿足0＜k²＜1，從而我們就可以解出這道題．

解答：解：（1）由題意易得M（-1，0）
設過點M的直線方程為y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁•x₂=1
y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=

4

k

∴AB的中點坐標為（

2-k2

k2

，

2

k

）
那么線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，得x=

k2+2

k2

，即x0=

k2+2

k2

=1+

2

k2

又方程（1）中△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，∴0＜k²＜1，∴

2

k2

＞2，
∴x₀＞3
（2）若△ABD是正三角形，則需點D到AB的距離等于

3

2

|AB||AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

16(1+k2)(1-k2)

k4

點D到AB的距離d=

|k• k2+2 k2 +k|

1+k2

=

2k2+2

k 1+k2

=

2 1+k2

k

據(jù)d2=

3

4

|AB|2，得：

4(k2+1)

k2

=

3

4

•

16(1-k4)

k4

∴4k⁴+k²-3=0，（k²+1）（4k²-3）=0，
∴k2=

3

4

，滿足0＜k²＜1
∴△ABD可以為正△，此時x0=

11

3

點評：直線與拋物線的位置關系問題，通常我們是聯(lián)立方程，組成方程組，利用韋達定理求解，對于存在性命題，一般式假設存在，轉(zhuǎn)化為封閉性命題求解．