已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。
解法一 (Ⅰ)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即方程有兩個(gè)根.
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),即方程有一個(gè)根.
顯然當(dāng)時(shí),方程沒有根.
(Ⅰ)
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,

(Ⅱ)

通過圖象可對(duì)進(jìn)行討論:
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即方程有兩個(gè)根.
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),即方程有一個(gè)根.
顯然當(dāng)時(shí),方程沒有根.
解法二 (Ⅰ),
,解得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,
最大值為
(Ⅱ)令   
(1)當(dāng)時(shí),,則,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015732018510.png" style="vertical-align:middle;" />, 所以
因此上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,則,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015732143626.png" style="vertical-align:middle;" />,,又
所以 所以
因此上單調(diào)遞減.
綜合(1)(2)可知 當(dāng)時(shí),,
當(dāng),即時(shí),沒有零點(diǎn),
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng),即時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng),即時(shí),
①當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知

要使,只需使,即;
②當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知
;
要使,只需使,即
所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2;
綜上所述:
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.
【考點(diǎn)定位】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等主干知識(shí),考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用.第一問的研究為第二問進(jìn)行數(shù)形結(jié)合鋪平了“道路”,使的相對(duì)位置關(guān)系更明晰.
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設(shè)函數(shù)F(x )=x2+aln(x+1)
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(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求證:.

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(Ⅱ)求證:;
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A.B.C.D.

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設(shè),若,則(   )
A.B.C.D.

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