Question

設(shè)橢圓方程為x²+=1,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足=(+),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　　.

Answer 1

4x²+y²-y=0

【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合要求.
直線l過點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x₁,y₁),(x₂,y₂)是方程組的解,
將①代入②并化簡得(4+k²)x²+2kx-3=0,
所以
于是=(+)=(,)
=(,).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x²+y²-y=0,�、�
當(dāng)斜率不存在時(shí),A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x²+y²-y=0.
【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧
參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù).一般來說,選參數(shù)時(shí)要注意:
①動(dòng)點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動(dòng)點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計(jì)算,也要便于消去.常見的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.