Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₄=7，a₁₀=19，其前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=7}\\{{a}_{1}+9d=19}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．