Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差數(shù)列，對某個確定的正整數(shù)k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，a₁=2，當k=3時，M=100，寫出所有這樣數(shù)列的前4項；
（2）當k=5，M=100時，對給定的首項，若由已知條件該數(shù)列被唯一確定，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記S_k=a₁+a₂+…+a_k，對于確定的常數(shù)d，當S_k取到最大值時，求數(shù)列{a_n}的首項．

Answer 1

分析：（1）利用a₁²+a_k+1²≤M，結合a₁=2，當k=3時，M=100，可求d的值，從而可以寫出所有這樣數(shù)列的前4項；
（2）由題意，關于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，從而可求其首項與公差，進一步可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1，利用a₁²+a_k+1²≤M，化簡可得M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，從而有Sk≤

M(k2+1) 2

，當且僅當a1=

k+1

k2+1

Sk時，
S_k取到最大值，故問題得解．

解答：解：（1）因為d是正整數(shù)，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數(shù)列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分），故問題得解．
（2）由題意，關于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，…（5分）
所以△=（2a₁）²-4（2a₁²-100）=0，解得a₁=±10．…（7分）
因為kd＞0，所以a₁＜0，即a₁=-10，5d=-10，d=-2，所以a_n=2n-12．…（10分）
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1…（11分）M≥(a1+kd)2+a12=(

k+1

k-1

a1-

2Sk

k-1

)2+a12，…（12分）
化簡得M(k-1)2≥2(k2+1)a12-4Sk(k+1)a1+4Sk2=2(k2+1)[a1-

(k+1)Sk

k2+1

]2+

2(k-1)2Sk2

k2+1

…（14分）
當a1=

k+1

k2+1

Sk時，M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，即Sk≤

M(k2+1) 2

…（15分）
所以當S_k取到最大值時有a1=

(k+1)Sk

k2+1

，…（16分）
即(k2+1)a1=(k+1)[ka1+

k(k-1)

2

d]，解得a1=-

1

2

k(k+1)d．…（18分）

點評：本題主要考查數(shù)列與汗水的結合，考查學生分析問題、解決問題的能力，有一定的難度．