【題目】如圖,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,是線段的中點.

1)求證:平面

2)若,求二面角的大小;

3)若線段上總存在一點,使得,求的最大值.

【答案】1)證明見解析;(2;(3.

【解析】

1)設(shè),連結(jié),,通過證明為平行四邊形得,或者建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量證明平行;

2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量方法分別求出兩個半平面的法向量的夾角即可得到二面角的大小;

3)根據(jù)向量的坐標(biāo)表示,恒有解即可求出的范圍.

解:(1)法一:設(shè),連結(jié),,

因為矩形是線段的中點,是線段的中點,

所以,,所以為平行四邊形,

,

平面,平面,

所以平面

法二:由題意,正方形和矩形所在的平面互相垂直,

因為平面平面,

,所以平面,

軸,軸,軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

因為是線段的中點,

,,,,

從而,

設(shè)平面的法向量為,則由,可知,

不妨令,則,,從而平面的一個法向量為

計算可知,又平面,

所以,從而平面.

2)若,則,

平面的一個法向量為

設(shè)平面的法向量為,則由,可知,

不妨令,則

從而平面的一個法向量為,

設(shè)二面角的平面角為,

因為為銳角,所以

所以二面角的大小為.

3)因為點在線段上,而,

設(shè),其中,

,從而點坐標(biāo)為

于是,而,

則由可知,即,

所以,解得,故的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,已知四棱錐,是梯形,,,,

)證明:平面平面;

)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一.為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點扶貧村脫貧,堅持扶貧同扶智相結(jié)合,此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式,現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對比,其質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品;指標(biāo)在區(qū)間的為合格品,現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中,各自隨機抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測,測試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下:

甲種生產(chǎn)方式:

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

15

15

乙種生產(chǎn)方式:

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

20

10

(1)在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中,按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式,隨機抽出5件產(chǎn)品,①求這5件產(chǎn)品中,優(yōu)等品和合格品各多少件;②再從這5件產(chǎn)品中,隨機抽出2件,求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率;

(2)所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品,若是優(yōu)等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元,乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下,該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧?

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【題目】如圖,設(shè)橢圓 ,長軸的右端點與拋物線 的焦點重合,且橢圓的離心率是

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過作直線交拋物線, 兩點,過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點,求面積的最小值,以及取到最小值時直線的方程.

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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為,上頂點為.已知橢圓的離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是

(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點,當(dāng)時,求的取值范圍.

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A. 均不相等B. 都相等,且為

C. 不全相等D. 都相等,且為

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【題目】現(xiàn)有一場專家報告會,張老師帶甲,乙,丙,丁四位同學(xué)參加,其中有一個特殊位置可與專家近距離交流,張老師看出每個同學(xué)都想去坐這個位置,因此給出一個問題,誰能猜對,誰去坐這個位置.問題如下:某班10位同學(xué)參加一次全年級的高二數(shù)學(xué)競賽,最后一道題只有6名同學(xué),,,嘗試做了,并且這6人中只有1人答對了.聽完后,四個同學(xué)給出猜測如下:甲猜:答對了;乙猜:不可能答對;丙猜:,當(dāng)中必有1人答對了;丁猜:,都不可能答對,在他們回答完后,張老師說四人中只有1人猜對,則張老師把特殊位置給了__________

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【題目】2018年非洲豬瘟在東北三省出現(xiàn),為了進(jìn)行防控,某地生物醫(yī)藥公司派出技術(shù)人員對當(dāng)?shù)匾火B(yǎng)豬場提供技術(shù)服務(wù),收費標(biāo)準(zhǔn)是:每天公司收取養(yǎng)豬場技術(shù)服務(wù)費120元,當(dāng)天若需要用藥的豬不超過45頭,不另外收費,若需要用藥的豬超過45頭,超過部分每頭收取藥費8元.

(1)設(shè)醫(yī)藥公司日收費為(單位:元),每天需要用藥的豬的數(shù)量為(單位:頭),,試寫出醫(yī)藥公司日收取的費用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若該醫(yī)藥公司從10月1日起對該養(yǎng)豬場提供技術(shù)服務(wù),10月31日該養(yǎng)豬場對其中一個豬舍9月份和10月份豬的發(fā)病數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表.

9月份

10月份

合計

未發(fā)病

40

85

125

發(fā)病

65

20

85

合計

105

105

210

根據(jù)以上列聯(lián)表,判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為豬未發(fā)病與醫(yī)藥公司提供技術(shù)服務(wù)有關(guān)?

附:,其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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