11.已知函數(shù)$f(x)=sin({x+\frac{7}{4}π})+cos({x-\frac{3}{4}π})$
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=$\frac{4}{5}$,cos(β+α)=-$\frac{4}{5}$,0<α<β≤$\frac{π}{2}$,求$f({2β-\frac{π}{4}})$的值.

分析 (1)先利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的最小值.
(2)求出$f({2β-\frac{π}{4}})$化簡,利用cos(β-α)=$\frac{4}{5}$,cos(β+α)=-$\frac{4}{5}$,0<α<β≤$\frac{π}{2}$,構(gòu)造出α,β的關(guān)系.從而可以求值.

解答 解:函數(shù)$f(x)=sin({x+\frac{7}{4}π})+cos({x-\frac{3}{4}π})$
化解:f(x)=sin(2π-$\frac{π}{4}$+x)+cos(-π+$\frac{π}{4}$+x)=-sin($\frac{π}{4}$-x)-cos($\frac{π}{4}$+x)=2sin(x-$\frac{π}{4}$)
(1)函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$;
∵sin的最小值為-1,
∴f(x)的最小值為:-2.
(2)∵f(x)=2sin(x-$\frac{π}{4}$)
∴$f({2β-\frac{π}{4}})$=2sin(2β-$\frac{π}{2}$)=-2cos2β.
又∵cos(β-α)=$\frac{4}{5}$,cos(β+α)=-$\frac{4}{5}$,
∵0<α<β≤$\frac{π}{2}$,
∴$-\frac{π}{2}$<β-α<0,0<β+α<π,
∴sin(β-α)=-$\frac{3}{5}$,cos(β+α)=$\frac{3}{5}$
∵cos2β=cos[(β-α)+(β+α)]=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$
故得$f({2β-\frac{π}{4}})$=-cos2β=-$\frac{24}{25}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,兩角和與差的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)若h(x)=2x2+3x+1由函數(shù)f(x)=x2+ax,g(x)=x+b生成,$b∈[\frac{1}{2},\;1]$,求a+2b的取值范圍;
(Ⅱ)試?yán)谩盎瘮?shù)$f(x)={log_4}({4^x}+1),g(x)=x-1$”生成一個(gè)函數(shù)h(x),使之滿足下列條件:
①是偶函數(shù);
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求h(x)的解析式.

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2.如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ABC=60°,PA=AB=1,BC=2,PA⊥底面ABCD
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19.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān),在某地對(duì)540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果是:患胃病者生活不規(guī)律的共80人,患胃病者生活規(guī)律的共20人,未患胃病者生活不規(guī)律的共240人,未患胃病者生活規(guī)律的共200人.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表.
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病和生活規(guī)律有關(guān)系?
參考公式與臨界值表:${K_{\;}}^2=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.1000.0500.0250.0100.001
ko2.7063.8415.0246.63510.828

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16.?dāng)?shù)列{xn}中,x1=tanα,且xn+1=$\frac{1+{x}_{n}}{1-{x}_{n}}$,求出x1,x2,x3并猜想通項(xiàng)公式xn

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