Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），數(shù)列{b_n}=1-{a_n}²（n∈N^*），數(shù)列{c_n}_^={a_n+1}²-{a_n}²
（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在數(shù)列c_n的不同項(xiàng)c_i，c_j，c_k（i＜j＜k），使之成為等差數(shù)列？若存在請求出這樣的不同項(xiàng)c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0，b1=

3

4

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），a_n+1²=

1

3

+

2

3

a_n²，

bn+1

bn

=

2

3

(n∈N*)，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由bn=

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)，知an2=1-bn=1-

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)，由此能求出{c_n}的通項(xiàng)公式．
（3）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k滿足題意成等差2c_j=c_i+c_k代入得2•

1

4

•(

2

3

)j-1=

1

4

•(

2

3

)i-1+

1

4

•(

2

3

)k-1，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，故這樣三項(xiàng)不存在．

解答：解：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0（n∈N^*）b1=

3

4

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²）
a_n+1²=

1

3

+

2

3

a_n²，

bn+1

bn

=

2

3

(n∈N*)
所以{b_n}是

3

4

為首項(xiàng)，

2

3

為公比的等比數(shù)列
（2）bn=

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)an2=1-bn=1-

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)cn=an+12-an2=

1

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)
（3）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k滿足題意成等差2c_j=c_i+c_k代入得2•

1

4

•(

2

3

)j-1=

1

4

•(

2

3

)i-1+

1

4

•(

2

3

)k-1

2j-i+1=3j-i+2k+j-i 2j-i+1-2k+j-i=3j-i

，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，這樣三項(xiàng)不存在．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明、求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和等差中項(xiàng)的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)思考，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．