Question

【題目】已知圓，動(dòng)點(diǎn)，線段QF與圓F相交于點(diǎn)P，線段PQ的長(zhǎng)度與點(diǎn)Q到y軸的距離相等．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡W的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與W的交點(diǎn)分別是M和N（M在N的上方，A，M，N為不同的三點(diǎn)），求向量在y軸正方向上的投影的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)Q的軌跡滿足拋物線的定義，確定定點(diǎn)及定直線即可求得軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)出直線AM的方程，與拋物線方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得，由可得，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得向量在y軸正方向上的投影的范圍.

（Ⅰ）由題知點(diǎn)Q到F的距離等于Q到y軸的距離加2

所以等于Q到直線的距離，由拋物線的定義可知：

點(diǎn)Q的軌跡W是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，

所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡W的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線AM的方程為，與聯(lián)立，得

，

則，即，

∵，∴或，

設(shè)，則，即，

，直線AN的方程為，則，

則向量在y軸正方向上的投影為

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即，

向量在y軸正方向上的投影的取值范圍為.