12.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,右焦點(diǎn)F,短軸兩端點(diǎn)為B1,B2,且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)M(0,-1)作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),交x軸于N點(diǎn),且滿足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$,求直線l的方程.

分析 (1)設(shè)出右焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),由離心率公式和平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示,解方程可得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),運(yùn)用向量共線坐標(biāo)表示,設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0),聯(lián)立方程x2+4y2=8,運(yùn)用韋達(dá)定理和解方程,得到k的方程,即可得到所求直線方程,注意檢驗(yàn)判別式大于0.

解答 解:(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F (c,0)(c>0),B1(0,b),B2(0,-b),
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4,即(-c,b)•(-c,-b)=c2-b2=4,…(3分)
又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2-b2=c2
解得a=2$\sqrt{2}$,b=$\sqrt{2}$,…(5分)
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1.…(6分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),
因?yàn)?\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$,所以(x1-x0,y1)=-$\frac{7}{5}$(x2-x0,y2),y1=-$\frac{7}{5}$y2.①
易知當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時(shí),①不成立,…(8分)
于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0),聯(lián)立方程x2+4y2=8,
消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②…(10分)
因?yàn)椤鳎?,所以直線與橢圓相交,于是y1+y2=-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$,③
y1y2=$\frac{1-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,④
由①③得,y2=$\frac{5}{1+4{k}^{2}}$,y1=-$\frac{7}{1+4{k}^{2}}$,
代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1,
所以直線l的方程是y=x-1或y=-x-1.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程和直線方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡整理運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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2.如圖,平面ABCD⊥平面ABE,其中ABCD為矩形,△ABE為直角三角形,∠AEB=90°,AB=2AD=2AE=2.
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(Ⅰ)求證:FA⊥BC
(Ⅱ)求直線BD與平面BCE所成角的正弦值.

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A.e3f(-14)<f(-5),e3f(-10)<f(-19)B.e3f(-14)>f(-5),e3f(-10)>f(-19)
C.e3f(-14)<f(-5),e3f(-10)>f(-19)D.e3f(-14)>f(-4),e3f(-10)<f(-19)

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