Question

【題目】如圖，已知側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥BC；
（2）求證：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC=3，AB=5，BC=4，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC．

（2）證明：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CC1=t，則由題意得A（3，0，0），C1（0，0，t），C（0，0，0），

B（0，4，0），D（ ，2，0），B1（0，4，t），

=（ ）， =（0，4，t）， =（﹣3，0，t），

設(shè)平面CDB1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，得 =（4，﹣3， ），

∴ =0，

∵AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．

【解析】（1）利用勾股定理能證明AC⊥BC．（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC1∥平面CDB1 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．