Question

已知函數(shù)f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）記集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

，判斷λ與E的關(guān)系；
（Ⅲ）若當(dāng)x∈[

2

，

3

]時(shí)，n≤f（x）≤m恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求出集合E以及λ的值，根據(jù)元素和集合的關(guān)系即可，判斷λ與E的關(guān)系；
（Ⅲ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即

x2-(a+1)x+a

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
即-（a+1）=a+1，
則a+1=0，解得a=-1；
（Ⅱ）∵a=-1，∴f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

=

x2-1

x2

，
則集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={y|y=0或

3

4

}={0，

3

4

}，
又λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
∴λ∈E；
（Ⅲ）∵f（x）=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，
∴當(dāng)x∈[

2

，

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴f（

2

）≤f（x）≤f（

3

），即

1

2

≤f（x）≤

2

3

，
∴當(dāng)m=

2

3

，n=

1

2

時(shí)，m-n取得最小值為

2

3

-

1

2

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及對數(shù)的基本運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．