Question

20．已知函數(shù)f（x）是定義在[1，+∞）上的函數(shù)，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{2x-3}|，\;\;\;1≤x＜2\\ \frac{1}{2}f（{\frac{1}{2}x}），\;\;\;\;x≥2\;\end{array}$，則函數(shù)y=2xf（x）-3在區(qū)間（1，2016）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為11．

Answer 1

分析 令函數(shù)y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=$\frac{3}{2x}$，從而化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，然后逐一分區(qū)間求得答案．

解答 解：令函數(shù)y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=$\frac{3}{2x}$，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）先增后減，在x=$\frac{3}{2}$時(shí)取得最大值1，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=$\frac{3}{2}$時(shí)也有y=1；
當(dāng)x∈[2，2²）時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=3處函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=3時(shí)也有y=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x∈[2²，2³）時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=6處函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=6時(shí)也有y=$\frac{1}{4}$；
…；
當(dāng)x∈[2¹⁰，2¹¹）時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=1536處函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{1}{210}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=1536時(shí)也有y=$\frac{1}{210}$．
∴函數(shù)y=2xf（x）-3在區(qū)間（1，2016）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．