Question

如圖l，四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，DC⊥BC，將△DCB沿BD折起，使AC⊥BC，如圖2．點E在DC上，AE=

6

且AE⊥DC，若二面角A-BD-C的正弦值為

6

3

．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知先證BC⊥平面ACD，則BC⊥AE，結(jié)合AE⊥DC，可證得AE⊥平面BCD，再由線面垂直的定義證得AE⊥BD；
（2）三棱錐D-ABE的體積，即三棱錐A-BDE的體積，求出三角形BDE的面積，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵AC⊥BC，DC⊥BC，AC∩DC=C
∴BC⊥平面ACD
又∵AE?平面ACD
∴BC⊥AE
又∵AE⊥DC，DC∩BC=C
故AE⊥平面BCD
又∵BD?平面BCD
∴AE⊥BD；
（2）取BD的中點M，連接AM，EM，
∵AB=AD，則AM⊥BD
又∵AE⊥BD，AM∩AE=A
∴BD⊥平面AEM∴EM⊥BD
∴∠AME即為二面角A-BD-C的平面角
在Rt△AEM中，AE=

6

，AM=

AE

sin∠AME

=

6

6 3

=3，EM=

3

又∵AB=AD，AB⊥AD，故△ABD為等腰直角三角形，故DB=6
∴三棱錐D-ABE的體積V_D-ABE=V_A-DBE=

1

3

•

1

2

•EM•DB•AE=3

2

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角求求法，棱錐的體積，空間中直線與直線的位置關(guān)系，（1）要熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，然后解三角形求出棱錐的棱長．