Question

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽,而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負的概率均為,且各局勝負相互獨立.求:

(1)打滿3局比賽還未停止的概率;

(2)比賽停止時已打局數(shù)ξ的分布列與期望Eξ.

Answer 1

解:令A(yù)_k,B_k,C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.

(1)由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知,打滿3局比賽還未停止的概率為

P(A₁C₂B₃)+P(B₁C₂A₃)=+=.

(2)ξ的所有可能值為2,3,4,5,6,且

P(ξ=2)=P(A₁A₂)+P(B₁B₂)=+=,

P(ξ=3)=P(A₁C₂C₃)+P(B₁C₂C₃)=+=,

P(ξ=4)=P(A₁C₂B₃B₄)+P(B₁C₂A₃A₄)=+=,

P(ξ=5)=P(A₁C₂B₃A₄A₅)+P(B₁C₂A₃B₄B₅)=+=,

P(ξ=6)=P(A₁C₂B₃A₄C₅)+P(B₁C₂A₃B₄C₅)=+=,

故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P

    從而Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=(局).