Question

17．已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F在拋物線y²=4x的準(zhǔn)線上，且橢圓C過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C相交于A，B不同兩點(diǎn)，M為橢圓C上的另一個(gè)焦點(diǎn)，求△MAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可得出F（-1，0），并設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），從而有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出a，b，從而得出橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）根據(jù)條件設(shè)直線l的方程為x=my-1，并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程聯(lián)立橢圓方程并消去x便可得到（3m²+4）y²-6my-9=0，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，而可得出△MAB面積s=|y₁-y₂|，帶入并變形得到s=$12\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$，根據(jù)函數(shù)$y=9t+\frac{1}{t}+6$的單調(diào)性即可求出s的最大值．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，由題意知F（-1，0）；
設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）；
則由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知F（-1，0），M（1，0）；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為x=my-1，聯(lián)立橢圓方程消去x得：（3m²+4）y²-6my-9=0；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{144（{m}^{2}+1）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$；
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$；
∴△MAB的面積$s=\frac{1}{2}|MF||{y}_{1}-{y}_{2}|$
=|y₁-y₂|
=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$
=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{[3（{m}^{2}+1）+1]^{2}}}$
=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{9（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）+1}}$
=$12\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$；
∵m²+1≥1，而函數(shù)$y=9t+\frac{1}{t}$在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6≥16$，m=0時(shí)取“=”；
∴$s≤\frac{12}{4}=3$；
∴當(dāng)m=0時(shí)，△MAB的面積取得最大值3．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)、拋物線的準(zhǔn)線的概念，根據(jù)條件及題目需要設(shè)出適當(dāng)?shù)闹本�方程的能力，韋達(dá)定理，完全平方公式的應(yīng)用，清楚函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值的方法，以及三角形的面積公式．