Question

5．一個正三棱錐的四個頂點都在直徑為2的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心．然后求出三角形的邊長，再求體積．

解答 解：正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心．
設(shè)球的半徑為R=1，底面三角形的邊長為a，
$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=1⇒a=$\sqrt{3}$
該正三棱錐的體積：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
故選：C

點評 本題考查了正棱錐體積公式、三角形重心定理、球大圓的定義等相關(guān)知識點，屬基礎(chǔ)題．