正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,
(Ⅰ)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);
(Ⅱ)將數(shù)列{an}中所有值為1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)按從小到大的順序依次排列,得到數(shù)列{nk},試用nk表示nk+1(不必證明);
(Ⅲ)求最小的正整數(shù)n,使an=2013.
【答案】分析:(Ⅰ)由數(shù)列{an}滿足遞推公式,令n=1,2,3,4及a1=1,我們易得到a2,a3,a4,a5,的值;
(Ⅱ)由(1)和條件可歸納數(shù)列{nk}中每一項(xiàng)的值與序號(hào)的關(guān)系,由歸納推理出nk的一個(gè)通項(xiàng)公式,再由(Ⅰ)歸納出數(shù)列{an}中項(xiàng)之間的關(guān)系式,再得到項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系式;
(Ⅲ)把(Ⅱ)的結(jié)論化為2nk+1+1=3(2nk+1),記2nk+1=xk,轉(zhuǎn)化為新的等比數(shù)列{xk},利用此數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而求出nk的表達(dá)式,把nk+1=3nk+1轉(zhuǎn)化為不等式“an≤3nk+1=nk+1”,給k具體值結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論,進(jìn)行注意驗(yàn)證an與2013的大小關(guān)系,一直到n8+2-m=2013,進(jìn)而求出m的值,代入對(duì)應(yīng)的式子求出n的值.
解答:解:(Ⅰ)令n=1代入得,a2=a1+1=2,
令n=2代入得a3=a2+2=4;令n=3代入得a4=a3-3=1,
令n=4代入得a5=a4+4=5;
∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=5;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知n1=1,n2=4,n3=13,…,
猜想使的下標(biāo)nk滿足如下遞推關(guān)系:nk+1=3nk+1,k=1,2,3,….
對(duì)k歸納:k=1,2時(shí)已成立,設(shè)已有,則由(Ⅰ)歸納可得,
,,,….
歸納易得:,
故當(dāng)m=nk+1時(shí),=
因此nk+1=3nk+1,(k=1,2,3,…)成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,nk+1=3nk+1,則2nk+1=2(3nk+1),
即2nk+1+1=3(2nk+1),記2nk+1=xk,
則xk+1=3xk,x1=3,故,因此,
由nk+1=3nk+1,k=1,2,3,…可知,
當(dāng)n≤3nk=nk+1-1時(shí),an≤3nk+1=nk+1
因此,當(dāng)n<n7時(shí),an≤n7==1093;
而當(dāng)n7≤n<n8時(shí),要么有an≤1094,要么有an≥2×1094,即an取不到2013,
進(jìn)而考慮n8≤n<n9的情況,
由(Ⅱ)得,,
則n8+2-m=2013,解得m=1269,解得n8+2m-1=5817

故使得an=2013的最小n為5817.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用數(shù)列的地推公式求數(shù)列中的項(xiàng),再由歸納法得到有關(guān)項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系式,再通過賦值構(gòu)造新的等比數(shù)列,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用能力和較強(qiáng)邏輯思維能力,難度很大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何n∈N*,有2+
1
an+1
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
<2+
1
an
;
(1)求a1,a3
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,當(dāng)n≥2時(shí),有|
a
2
n
-an-1an+1| <  
1
2
an-1

(1)求a3的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(3)記Tn=
12
a1
+
22
a2
+
32
a3
 +K+
n2
an
,證明:對(duì)任意n∈N*,Tn
9
4

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設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何n∈N*,有2+
1
an+1
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
<2+
1
an
,則a10=
100
100

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
an-n,an>n
an+n,an≤n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(江西) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何

nN*,有

   (1)求a1,a3;

   (2)求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)an

 

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