Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類(lèi)討論，詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)得，根據(jù)根的大小，分 ，， 三種情況討論求解.

（2）根據(jù)不等式在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.

（1），

即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）因?yàn)椴坏仁?/span>在區(qū)間上恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，

令，

則，由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以時(shí)，；時(shí)，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

所以．

綜上，的取值范圍為．