Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，求參數(shù)a取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判定，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可；
（2）將不等式x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，轉(zhuǎn)化成不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立，然后利用單調(diào)性求出x+

1

x

的最小值，從而可求出所求．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)任意x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1≥0，
∴

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）∵不等式x²+1≥ax在[1，∞）恒成立，
∴不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立，
記g（x）=x+

1

x

（x≥1），則不等式x+

1

x

≥a在[1，∞）恒成立等價于a≤g（x）_min，
由（1）知g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）_min=g（1）=2，
∴a≤2．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，以及恒成立問題的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化的思想，同時考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運算求解的能力．