Question

已知是的一個(gè)極值點(diǎn).
（Ⅰ） 求的值；  
（Ⅱ） 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)，試問(wèn)過(guò)點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）2條.

試題分析：（Ⅰ）先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，則，即得的值；（Ⅱ）求當(dāng)時(shí)的的取值范圍，就得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅲ）易知，設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，5）與曲線相切的切點(diǎn)為，
所以，，令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，可得與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得結(jié)論.
試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022042230324.png" style="vertical-align:middle;" />是的一個(gè)極值點(diǎn)，所，
經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以.                                  3分
（II）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022042293470.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為                                              6分
（III），設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，5）與曲線相切的切點(diǎn)為
所以，               9分
令，所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240220424801504.png" style="vertical-align:middle;" />，所以與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以過(guò)點(diǎn)可作2條直線與曲線相切.                                            12分