Question

若函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f′（x）＜

1

2

，則f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集為（　　）

• A、（-1，1）
• B、（-∞，-1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，則g（x）=f′（x）-

1

2

，
∵f′（x）＜

1

2

，
∴g（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=1-1=0，
則不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

等價(jià)為f（x）-

x

2

-

1

2

＜0，
即g（x）＜g（1），
則x＞1，
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．