Question

如圖，M是拋物線上y²=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB．
（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數(shù)法設(shè)出兩直線的方程，用參數(shù)表示出兩點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求了過兩點(diǎn)的直線的斜率，驗(yàn)證其是否與參數(shù)無(wú)關(guān)，若無(wú)關(guān)，則說明直線EF的斜率為定值．
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，如（1）用參數(shù)表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再由重心坐標(biāo)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系將其表示出來，消參數(shù)即可得重心的方程．

解答：解：（1）設(shè)M（y₀²，y₀），直線ME的斜率為k（k＞0），則直線MF的斜率為-k
直線ME的方程為y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y 0=k(x-y 0 2)  y 2=x

消去x得ky-y+y₀（1-ky₀）=0，解得y_E=

1-ky 0

k

，x_E=

(1-ky 0) 2

k 2

同理可得y_F=

1+ky 0

-k

，x_F=

(1+ky 0) 2

k 2

∴k_EF=

y E-y F

X E-X  F

，將坐標(biāo)代入得k_EF=-

1

2y0

（定值）
所以直線EF的斜率為定值．

（2）當(dāng)∠EMF=90°時(shí)，∠MAB=45°，所以k=1
∴直線ME的方程為：y-y₀=x-y₀²，
由

y-y 0=x-y 0 2 y 2=x

得E（（1-y₀）²，1-y₀）
同理可得F（（1+y₀）²，-（1+y₀）），
設(shè)重心為G（x，y），則有

x= xM+xE+xF 3 y= yM+yE+yF 3

代入坐標(biāo)得

x= 2+3y0 2 3 y= - y0 3

消去參數(shù)y₀得y²=

1

9

x-

2

27

（x＞

2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是直線與圓錐直線的位置關(guān)系，待定系數(shù)法表示方程，在本題驗(yàn)證直線過定點(diǎn)是先用參數(shù)表示出相關(guān)的直線方程解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)再用斜率公式驗(yàn)證其是否為定值．