設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-2,0),左準(zhǔn)線l1與x軸交于點(diǎn)N(-3,0),過(guò)點(diǎn)N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求直線l和橢圓的方程;
(2)求證:點(diǎn)F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上;
(3)在直線l上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)C、D,以CD為直徑且過(guò)點(diǎn)F1的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長(zhǎng).
【答案】分析:(1)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程,由焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求出橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng),寫(xiě)出橢圓的方程.
(2)將直線方程代入橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,計(jì)算x1+x2和x1x2的值,利用2個(gè)向量數(shù)量積公式計(jì)算=0,得到F1A⊥F1B,所以點(diǎn)F1在以線段AB為直徑的圓上.
(3)面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F1到直線l的距離,用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的最小半徑.
解答:解:(1)直線l:y=(x+3),
由已知c=2及=3,解得a2=6,
∴b2=6-22=2.
x2+3y2-6=0,①
∴橢圓方程為+=1.
(2) y=(x+3),②
將②代入①,整理得2x2+6x+3=0.③
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則x1+x2=-3,x1x2=
=(x1+2,y1)•(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=x1x2+2(x1+x2)+4+[x1x2+3(x1+x2)+9]=x1x2+3(x1+x2)+7=0,
∴F1A⊥F1B.則∠AF1B=90°.
∴點(diǎn)F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
(3)解:面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F1到直線l的距離,設(shè)為r.
∴r==為所求.
點(diǎn)評(píng):本題考查求直線方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和橢圓的位置關(guān)系.
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(I)證明:;
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(I)若∠AF1F2=α,∠AF2F1=β,試用α,β表示橢圓的離心率e;
(II)設(shè)數(shù)學(xué)公式1數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式2數(shù)學(xué)公式,當(dāng)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:λ12為定值.

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