【題目】如圖,四邊形是直角梯形, ,又,直線與直線所成的角為.
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析.(2).
【解析】試題分析:方法1:(1)∵,∴平面ABC,∴.5分
(2)取BC的中點N,連MN.∵,∴,∴平面ABC.作
,交AC的延長線于H,連結(jié)MH.由三垂線定理得,∴為二面角的平面角.∵直線AM與直線PC所成的角為,∴在中, .
在中, .
在中, .
在中, .
在中,∵,∴.
故二面角的余弦值為.13分
方法2:(1)∵,∴平面ABC,∴.5分
(2)在平面ABC內(nèi),過C作BC的垂線,并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè),則. . 5分
∵,
且,∴,得,∴. 8分
設(shè)平面MAC的一個法向量為,則由得得∴. 10分
平面ABC的一個法向量為. 12分
顯然,二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.13分
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【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時,若函數(shù)恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng), 時,對任意,有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】學(xué)校高一年級開設(shè)、、、、五門選修課,每位同學(xué)須彼此獨立地選三課程,其中甲同學(xué)必選課程,不選課程,另從其余課程中隨機任選兩門課程.乙、丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機任選三門課程.
(Ⅰ)求甲同學(xué)選中課程且乙同學(xué)未選中課程的概率.
(Ⅱ)用表示甲、乙、丙選中課程的人數(shù)之和,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】【2018吉林長春高三下學(xué)期二模】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研,力爭有效的改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支.現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如下圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.
(I)完成列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?
(II)為了改良玉米品種,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗,選取的植株均為矮莖的概率是多少?
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【題目】某縣政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價:若用水量不超過12噸時,按4元/噸計算水費;若用水量超過12噸且不超過14噸時,超過12噸部分按6.60元/噸計算水費;若用水量超過14噸時,超過14噸部分按7.80元/噸計算水費.為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,,…,分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(圖1) (圖2)
(Ⅰ)通過頻率分布直方圖,估計該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01);
(Ⅱ)求用戶用水費用(元)關(guān)于月用水量(噸)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅲ)如圖2是該縣居民李某2017年1~6月份的月用水費(元)與月份的散點圖,其擬合的線性回歸方程是.若李某2017年1~7月份水費總支出為294.6元,試估計李某7月份的用水噸數(shù).
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上滿足恒成立,求實數(shù)a的最小值.
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【題目】某港口有一個泊位,現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?康臅r間(單位:小時),如果?繒r間不足半小時按半小時計時,超過半小時不足1小時按1小時計時,以此類推,統(tǒng)計結(jié)果如表:
?繒r間 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
輪船數(shù)量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為小時,求的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠小時,且在一晝夜的時間段中隨機到達,求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率.
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