Question

14．給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，0）；
（2）化簡2${\;}^{{{log}_{\sqrt{2}}}5}}$+lg5lg2+（lg2）²-lg2的結(jié)果為25；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＜1，則a的取值范圍是（1，+∞）；
（4）若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），則x+y＜0．
其中所有正確命題的序號是（2）（4）．

Answer 1

分析 結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，-1），故（1）錯(cuò)誤；
（2）2${\;}^{{{log}_{\sqrt{2}}}5}}$+lg5lg2+（lg2）²-lg2=25+lg2（lg5+lg2）-lg2=25+lg2-lg2=25，故（2）正確；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＜1，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），故（3）錯(cuò)誤；
（4）構(gòu)造函數(shù)F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），
顯然，F(xiàn)（t）為定義域上的減函數(shù)，
因?yàn)閤＞0，y＜0，所以，-y＞0，
故F（x）=2^-x-lnx，F(xiàn)（-y）=2^y-ln（-y），
由①式得，F(xiàn)（x）＞F（-y），
且F（t）為定義域上的減函數(shù)，
因此，x＜-y，
即x+y＜0，故（4）正確；
故答案為：（2）（4）

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)運(yùn)算對數(shù)運(yùn)算，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．