在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（5，-5），P（cosα，sinα），其中0≤α≤π
（1）若cosα=
4
5
，求證：
PA
⊥
PO
．
（2）若
PA
∥
PO
，求sinα+3cosα的值．
分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα=
3
5
，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得
PA
•
PO
，可得
PA
⊥
PO
．
（2）利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡可得 sinα=-cosα=
2
2
，從而得到sinα+3cosα的值．
解答：解：（1）若cosα=
4
5
，∵已知點(diǎn)A（5，-5），P（cosα，sinα），0≤α≤π，
∴sinα=
3
5
，
PA
=（5-cosα，-5-sinα），
PO
=（-cosα，-sinα），
∴
PA
•
PO
=（5-cosα，-5-sinα）•（-cosα，-sinα）=-5cosα+cos2α+5sinα+sin2α 
=1+5sinα-5×cosα=1+5×
3
5
-5×
4
5
=0，
故有
PA
⊥
PO
．
（2）若
PA
∥
PO
，則-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡可得-sinα=cosα．
再由0≤α≤π 可得，α=
3π
4
，故sinα+3cosα=
2
2
-
3
2
2
=-
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量垂直、共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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