Question

如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點(diǎn)，且．又以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三點(diǎn)．若，則雙曲線離心率e的取值范圍為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如圖，在直角坐標(biāo)系中，記雙曲線的半焦距為c（c=2），h是梯形的高，用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)x和y的表達(dá)式．設(shè)雙曲線方程，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和e分別代入雙曲線方程聯(lián)立后求得e和h的關(guān)系式，根據(jù)λ的范圍求得e的范圍．
解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOγ，則CD⊥γ軸．
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于γ軸對(duì)稱，
設(shè)c為雙曲線的半焦距（c=2），
依題意，記 ，
h是梯形的高，
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ，
．
設(shè)雙曲線的方程為 ，則離心率 ，
由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和 代入雙曲線的方程，得 ，①
．②
由①式得 ，③
將③式代入②式，整理得 ，
故
由題設(shè) 得，，
解得 ，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[]．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．