已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1．(a＞b＞0)，其中短軸長(zhǎng)和焦距相等，且過(guò)點(diǎn)M(2，
2
)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x0，y0）在橢圓C的外部，過(guò)P做橢圓的兩條切線(xiàn)PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，則MN的方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．已知點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y-4=0上，試求橢圓右焦點(diǎn)F到直線(xiàn)MN的距離的最小值．
（1）設(shè)橢圓方程為
x 2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
∵
x2
2b2
+
y2
b2
=1，過(guò)點(diǎn)M（2，
2
），
∴
4
2b2
+
2
b2
=1，
∴b=2，a=2
2
，
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）設(shè)P（x0，y0），則x0+y0-4=0，即x0=4-y0，
∵x+y-4=0與橢圓無(wú)交點(diǎn)，∴P在橢圓C的外部，
∴MN所在直線(xiàn)方程為
x0x
8
+
y0y
4
=1，
即x0x+2y0y-8=0，
設(shè)所求距離為d，且F（2，0），
則d=
|2x0-8|
x02+4y02
=
|2y0|
5y02-8y0+16

=
2
16
y0 2
-
8
y 0 
+5
=
2
(
4
y0
-1)2+4
，
∴當(dāng)y0=4時(shí)，dmin=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線(xiàn)l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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