1.已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex(k∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)求f(x)在x∈[1,2]上的最小值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+f′(x),若對${?^{\;}}^{\;}k∈[{\frac{3}{2},\frac{5}{2}}]$及?x∈[0,1]有g(shù)(x)≥λ恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

分析 (1)由f(x)=(x-k)ex,求導(dǎo)f′(x)=(x-k+1)ex,令f′(x)=0,求得x=k-1,令f′(x)<0,解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,f′(x)>0,解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f(x)的極值;
(2)當(dāng)k-1≤1時,f(x)在[1,2]單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(1),當(dāng)k-1≥2時,f(x)在[1,2]單調(diào)遞減,f(x)的最小值為f(2),當(dāng)1<k-1<2時,則x=k-1時,f(x)取最小值,最小值為:-ek-1;
(3)由g(x)=(2x-2k+1)ex,求導(dǎo)g′(x)=(2x-2k+3)ex,當(dāng)g′(x)<0,解得:x<k-$\frac{3}{2}$,求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)g′(x)>0,解得:x>k-$\frac{3}{2}$,求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,由題意可知g(x)≥λ,?x∈[0,1]恒成立,等價(jià)于g(k-$\frac{3}{2}$)=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ,由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ,對?k∈[$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$]恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)=(x-k)ex(k∈R),求導(dǎo)f′(x)=(x-k)ex+ex=(x-k+1)ex,
令f′(x)=0,解得:x=k-1,
當(dāng)x<k-1時,f′(x)<0,
當(dāng)x>k-1時,f′(x)>0,

 x (-∞,k-1)k-1 (k-1,+∞)
f′(x)- 0+
 f(x)-e-k-1
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(k-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間(-∞,k-1),極小值為-ek-1,無極大值;
(2)當(dāng)k-1≤1時,即k≤2時,f(x)在[1,2]單調(diào)遞增,
f(x)的最小值為f(1)=(1-k)e;
當(dāng)k-1≥2時,即k≥3時,f(x)在[1,2]單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=2時,f(x)的最小值為f(2)=(2-k)e3
當(dāng)1<k-1<2時,解得:2<k<3時,
∴f(x)在[1,k-1]單調(diào)遞減,在[k-1,2]單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=k-1時,f(x)取最小值,最小值為:-ek-1;
(3)g(x)=f(x)+f'(x)=(x-k)ex+(x-k+1)ex=(2x-2k+1)ex,
求導(dǎo)g′(x)=(2x-2k+1)ex+2ex=(2x-2k+3)ex,
令g′(0)=0,2x-2k+3=0,x=k-$\frac{3}{2}$,
當(dāng)x<k-$\frac{3}{2}$時,g′(x)<0,
當(dāng)x>k-$\frac{3}{2}$時,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,k-$\frac{3}{2}$)單調(diào)遞減,在(k-$\frac{3}{2}$,+∞)單調(diào)遞增,
故當(dāng)x=k-$\frac{3}{2}$,g(x)取最小值,最小值為:g(k-$\frac{3}{2}$)=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$,
∵k∈[$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$],即k-$\frac{3}{2}$∈[0,1],
∴?x∈[0,1],g(x)的最小值,g(k-$\frac{3}{2}$)=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$,
∴g(x)≥λ,?x∈[0,1]恒成立,等價(jià)于g(k-$\frac{3}{2}$)=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ,
由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ,對?k∈[$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$]恒成立,
∴λ≤(-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$)最小值,
令h(k)=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$,k∈[$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$],
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)h(k)在k∈[$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$]單調(diào)遞增,
∴當(dāng)k=$\frac{5}{2}$時,h(k)取最小值,h($\frac{5}{2}$)=-2e,
∴λ≤-2e.
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍(-∞,-2e).

點(diǎn)評 本題考查利用到時研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值,考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于難題.

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