Question

16．己知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+b
（1）若函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，3）且滿足f（x）≥x恒成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）求出b=-3a-9，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²+ax-3（a+3）≥0恒成立，根據(jù)△=0，求出a的值，從而求出b的值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+（a+1）x+b，
對(duì)稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$，開(kāi)口向上，
∵函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴-$\frac{a+1}{2}$≤1，
解得：a≥-3；
（2）將（3，3）代入f（x）得：9+3a+3+b=3，
∴b=-3a-9，
∴f（x）=x²+（a+1）x-3（a+3），
∵f（x）≥x恒成立，
∴x²+ax-3（a+3）≥0恒成立，
∴△=a²+12（a+3）=0，
解得：a=-6，故b=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．