Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側(cè)棱CC₁的中點，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為45°．
（1）求此正三棱柱的側(cè)棱長；
（2）求二面角A-BD-C的余弦值大小．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長為x．取BC中點E，連AE．連ED，則直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為∠ADE=45°，由此能求出此正三棱柱的側(cè)棱長．
（2）過E作EF⊥BD于F，連AF，由已知條件推導(dǎo)出∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的余弦值．

解答： 解：（1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長為x．
取BC中點E，連AE．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．…（1分）
又底面ABC⊥側(cè)面BB₁C₁C，且交線為BC．
∴AE⊥側(cè)面BB₁C₁C．連ED，則直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為∠ADE=45°．   …（4分）
在Rt△AED中，tan45°=

AE

ED

=

3

1+ x2 4

，解得x=2

2

． …（5分）
∴此正三棱柱的側(cè)棱長為2

2

．…（6分）
（2）過E作EF⊥BD于F，連AF，
∵AE⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AF⊥BD．
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角．…（9分）
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，
又BE=1，sin∠EBF=

CD

BD

=

2

22+( 2 )2

=

3

3

，∴EF=

3

3

．
又AE=

3

，AF=

( 3 )2+( 3 3 )2

=

30

3

，…（11分）
∴在Rt△AEF中，cos∠AFE=

EF

AF

=

3 3

10 3

=

10

10

．   …（13分）
故二面角A-BD-C的余弦值的大小為

10

10

．   …（14分）

點評：本小題考查正三棱柱側(cè)棱長的求法，考查二面角的余弦值的大小的求法，考查利用定義法（向量法）求空間幾何中的角度問題．