如圖,在棱長為a的正方體A1B1C1D1-ABCD中,
(1)作出面A1BC1與面ABCD的交線l,判斷l(xiāng)與直線A1C1位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明B1D⊥面A1BC1
(3)求直線AC到面A1BC1的距離;
(4)若以A為坐標原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,試寫出C,C1兩點的坐標.
(1)在平面ABCD內(nèi)過點B作AC的平行線BE,
∵ACA1C1,ACBE,
∴BEA1C1,
∴面A1BC1與面ABCD的交線l與BE重合,
即直線BE就是所求的直線l.
∵BEA1C1,
l與BE重合,
∴l(xiāng)A1C1
(2)證明:連接B1D1,
∵A1B1C1D1是正方形,
∴A1C1⊥B1D1,
∵A1C1⊥DD1,
∴A1C1⊥面DBB1D1
∴A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥面ADC1B1,
∴A1B⊥B1D,
∵A1C1∩A1B=A1
∴B1D⊥面A1BC1
(3)∵ACA1C1,且AC在面A1BC1外,A1C1?面A1BC1,
∴AC面A1BC1,
∴直線AC到面A1BC1的距離即為點A到面A1BC1的距離,記為h,
在三棱錐中A-A1BC1中,
VA_A1BC1=VC1-ABA1,
∵正方體A1B1C1D1-ABCD棱長為a,
VA-A1BC1=
1
3
SA1BC1•h=
1
3
×
1
2
×(
2
a)
2
×h
×sin60°=
3
a2
6
h
,
VC1-ABA1=
1
3
S△ABA1
•A1C1=
1
3
1
2
•a•a•
2
a
=
2
6
a3

VA_A1BC1=VC1-ABA1,
h=
6
3
a

(4)若以A為坐標原點,
分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵正方體A1B1C1D1-ABCD的棱長為a,
∴C(a,a,0),C1(a,a,a).
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n
=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在α內(nèi),則P(-2,1,4)到α的距離為(  )
A.10B.3C.
8
3
D.
10
3

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AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,則CD的長為( 。
A.2aB.
5
a
C.a(chǎn)D.
3
a

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A.8B.6C.4D.3

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