分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AD⊥CD,AD⊥CE,從而AD⊥平面CDE,進(jìn)而BC⊥平面CDE,由此能證明平面BCF⊥平面CDE.
(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DE為y軸,過D作EC的平行線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BF-E的平面角的正弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,
∵CE⊥平面ADE,AD?平面ADE,∴AD⊥CE,
∵CD∩CE=C,∴AD⊥平面CDE,
∵BC∥AD,∴BC⊥平面CDE,
∵BC?平面BCF,∴平面BCF⊥平面CDE.
解:(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DE為y軸,過D作EC的平行線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2$\sqrt{5}$,0,0),B(2$\sqrt{5}$,4,2),F(xiàn)(0,2,0),E(0,4,0),
$\overrightarrow{BA}$=(0,-4,-2),$\overrightarrow{BF}$=(-2$\sqrt{5}$,-2,-2),$\overrightarrow{BE}$=(-2$\sqrt{5}$,0,-2),
設(shè)平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-4b-2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-2\sqrt{5}a-2b-2c=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{n}$=($\frac{\sqrt{5}}{5}$,1,-2),
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2\sqrt{5}x-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2\sqrt{5}x-2y-2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,0,-$\sqrt{5}$),
設(shè)二面角A-BF-E的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{11\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{\frac{26}{5}}•\sqrt{6}}$=$\frac{11}{2\sqrt{39}}$,
∴sinθ=$\sqrt{1-(\frac{11}{2\sqrt{39}})^{2}}$=$\frac{\sqrt{1365}}{78}$.
二面角A-BF-E的平面角的正弦值為$\frac{\sqrt{1365}}{78}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | p |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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A. | ①④ | B. | ②③ | C. | ①②③ | D. | ④ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $4+2\sqrt{3}$ | B. | $4-2\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{2}-1$ | D. | $\sqrt{3}+1$ |
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